Vrsta i brzina porasta broja potvrđenih slučajeva COVID-19 u Hrvatskoj

(30) 2020/04/03

U početku epidemije COVID-19 u Hrvatskoj, kada je broj potvrđenih slučajeva zaraze bio relativno mali, mediji su podučavali javnost o eksponencijalnom rastu i upozoravali na njegove neočekivane učinke. U pomoć su pozvani šahisti i matematičari koji su prepričavali legendu o nastanku šaha, brojali sjemenke graha i presavijali papir, a ozbiljno upozorenje je 21. ožujka uputio i ministar zdravstva Vili Beroš ističući da ljudi ne shvaćaju eksponencijalni rast, uz primjer kako s dnevnim porastom od 22% do 8. travnja možemo očekivati toliko kritičnih bolesnika da ih hrvatski zdravstveni sustav neće moći zbrinuti. Nakon približno tjedan dana, kada je broj potvrđenih slučajeva zaraze bio višestruko veći, mediji su prenijeli izjave političara da je eksponencijalni rast zasad izbjegnut. Na primjer, Beroš je 26. ožujka ustvrdio da nema eksponencijalnog rasta broja zaraženih jer držimo širenje virusa po kontrolom, dodajući 29. ožujka da je eksponencijalni rast zasad dosta prolongiran, uz pojašnjenje da krivulja nije eksponencijalna zbog pravovremenih postupanja epidemiologa i pridržavanja donesenih mjera. Ministar unutarnjih poslova i načelnik Stožera civilne zaštite Republike Hrvatske Davor Božinović je 31. ožujka također ustvrdio da broj oboljelih ne raste eksponencijalno već linearno, prilažući kao dokaz ovaj grafički prikaz.

Je li utemeljeno tvrditi da broj potvrđenih slučajeva zaraze u Hrvatskoj raste linearno, a ne eksponencijalno? Jedan od načina da se provjeri utemeljenost te tvrdnje je pokušaj opisivanja podataka o porastu linearnim pravcem, odnosno eksponencijalnom krivuljom, te procjena što ih bolje opisuje. Na slici 1. je prikazan ukupan (kumulativni) i dnevni broj potvrđenih slučajeva zaraze do 31. ožujka, uz pridodani optimalni linearni pravac i eksponencijalnu krivulju. Već na prvi pogled je očito da su odstupanja točaka od linearnog pravca veća nego odstupanja od eksponencijalne krivulje, odnosno da eksponencijalna krivulja bolje opisuje porast.

Opis podataka o ukupnom broju slučajeva i broju novih slučajeva linearnim pravcem i eksponencijalnom krivuljom.

Slika 1: Opis podataka o ukupnom broju slučajeva i broju novih slučajeva linearnim pravcem i eksponencijalnom krivuljom.

Uvijek je moguće je ustvrditi da je krivulja eksponencijalnog rasta u manjem, proizvoljno odabranom dijelu približno pravocrtna, odnosno linearna. Doista, od približno 22. do 31. ožujka porast ukupnog broja potvrđenih slučajeva je naizgled pravocrtan, no proizvoljnost odabira tog razdoblja je vrlo problematična. Sagledano na taj način, pravocrtnost je moguće pronaći i u drugim proizvoljno odabranim razdobljima, iz čega ipak ne slijedi da se vrsta porasta mijenja iz eksponencijalne u linearnu.

Obilježje eksponencijalnog rasta koje vjerojatno izaziva nesporazum je vrijeme udvostručenja, odnosno brzina porasta. U poučnim, prigodno pojednostavljenim primjerima obično se pretpostavlja da eksponencijalni rast podrazumijeva svakodnevno udvostručenje, no taj tempo porasta uopće nije nužan. Eksponencijalni rast može biti brži ili sporiji, odnosno broj slučajeva može se udvostručavati svakog dana, ali i svakog četvrtog, sedmog ili desetog dana, a da je i dalje riječ o eksponencijalnom, a ne linearnom rastu. Kad je riječ o porastu ukupnog broja potvrđenih slučajeva u Hrvatskoj, vrijeme udvostručenja na temelju optimalne krivulje iznosi 3.5 [3.2, 3.8] dana, a kad je riječ o broju novih slučajeva, vrijeme udvostručenja iznosi 5.5 [4.9, 6.1] dana.

U političkom žargonu prisutnom krajem ožujka, u vrijeme većeg porasta broja potvrđenih slučajeva zaraze, pojam “linearni porast” približno je značio dovoljno malen da poduzete mjere možemo proglasiti uspješnim, dok je pojam “eksponencijalni porast” upućivao na epidemiju koja se otela nadzoru, što bi podrazumijevalo da mjere kontrole nisu imale značajnijeg učinka. Drugim riječima, pojmom “linearan” opisivan je umjereni, sporiji porast, a pojmom “eksponencijalan” ubrzani, nezadrživ porast.

Brzina porasta broja potvrđenih slučajeva COVID-19 nije ujednačena kroz vrijeme. Porast će očekivano usporiti (ili, u slučaju novopotvrđenih slučajeva, čak dobiti negativan predznak) kada je primjena mjera obuzdavanja epidemije uspješna, a sudeći prema podacima, to usporavanje se doista i dogodilo u razdoblju od sredine ožujka, kada su uvedene značajnije mjere obuzdavanja. Na slici 2. točkama je prikazana je dnevna stopa porasta (omjer u odnosu na stanje prethodnog dana) i vrijeme udvostručenja očekivano na temelju promjene u odnosu na stanje prethodnog dana. Dnevni podaci o brzini porasta prilično variraju i nipošto nije poželjno davati im veliku težinu. Praćenje procjene višednevnih trendova je mnogo informativniji i pouzdaniji način sagledavanja brzine i smjera promjene, a takvi trendovi su na slici prikazani krivuljom.

Kao što je vidljivo, procjena stope porasta ukupnog broja potvrđenih slučajeva na temelju višednevnog trenda dana 20. ožujka iznosi visokih 24% [18%, 30%] uz očekivano vrijeme udvostručenja od samo 2.9 [2.3, 3.8] dana. Desetak dana kasnije, 31. ožujka, procjena stope porasta iznosi znatno manjih 14% [10%, 17%], uz produljeno očekivano vrijeme udvostručenja od 5.1 [3.8, 6.7] dana.

Kad je riječ o dnevnom broju novopotvrđenih slučajeva, dana 20. ožujka procjena stope njihova porasta iznosi 28% [10%, 44%] uz očekivano vrijeme udvostručenja od 2.5 [1.4, 5.4] dana. Desetak dana kasnije, 31. ožujka, procjena stope porasta novopotvrđenih slučajeva iznosi približno 2% [-10%, 14%] uz očekivano vrijeme udvostručenja od 8.5 [-152.7, 154.1] dana. Raspon procjene vremena udvostručenja je u ovom slučaju vrlo širok jer dnevna stopa porasta varira oko nule, a u tom slučaju se očekivano vrijeme udvostručenja znatno produljuje – kada promjene u broju novopotvrđenih slučajeva uopće ne bi bilo, udvostručenje se ne bi ni dogodilo.

Ukupni broj slučajeva i broj novih slučajeva COVID-19 u Hrvatskoj, dnevna stopa rasta i vrijeme udvostručenja, uz višednevnu modelsku procjenu. Stopa rasta i vrijeme udvostručenja znatno variraju u početnom razdoblju zbog relativno malog broja slučajeva, pa se radi preglednosti prikazuje samo razdoblje od 9. ožujka nadalje.

Slika 2: Ukupni broj slučajeva i broj novih slučajeva COVID-19 u Hrvatskoj, dnevna stopa rasta i vrijeme udvostručenja, uz višednevnu modelsku procjenu. Stopa rasta i vrijeme udvostručenja znatno variraju u početnom razdoblju zbog relativno malog broja slučajeva, pa se radi preglednosti prikazuje samo razdoblje od 9. ožujka nadalje.

Zaključno, promjenu broja potvrđenih slučajeva COVID-19 nije prikladno proglašavati “eksponencijalnom” ili “linearnom” s namjerom da se tim pojmovima opiše njezinu brzinu. Brzina promjene se mijenja kroz vrijeme, porast broja slučajeva ubrzava ili usporava, a taj je podatak primjerenije iskazati promjenom stope rasta i/ili vremena udvostručenja nego opisom ukupne ili parcijalne krivulje rasta. Stopu rasta i vrijeme udvostručenja pritom je poželjno računati za višednevna razdoblja kako bi se ublažilo utjecaj slučajnih, neinformativnih i nepouzdanih dnevnih varijacija.

Pri tumačenju ovdje izloženih nalaza treba imati na umu da broj potvrđenih slučajeva nije pouzdan pokazatelj stvarnog tijeka epidemije u Hrvatskoj zbog činjenice da je broj zaraženih osoba u svakom trenutku veći od broja potvrđenih slučajeva. Koliko veći, zavisi o obuhvatu testiranja, ali i obilježjima zahvaćenog stanovništva i brojim drugim elementima. Ukupan broj zaraženih osoba je nepoznanica, no postoje načini okvirne procjene njihova broja, o čemu će više riječi biti u narednim osvrtima.